حل تمرین 1 صفحه 37 ریاضی و آمار سوم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 37 ریاضی دهم انسانی سلام به شما دانش‌آموزان! این تمرین‌ها شامل مجموعه‌ای از **معادلات گویا** هستند. یادتان باشد همیشه باید ریشه‌هایی که **مخرج** کسرها را صفر می‌کنند (ریشه‌های غیرمجاز) را در نظر بگیرید. --- ### الف) $\mathbf{\frac{3x - 5}{x + 3} = 1}$ 1. **ریشه‌ی غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq -3}$ 2. **حل با طرفین وسطین:** $$\mathbf{3x - 5 = 1(x + 3)}$$ $$\mathbf{3x - 5 = x + 3}$$ $$\mathbf{3x - x = 3 + 5}$$ $$\mathbf{2x = 8 \Rightarrow x = 4}$$ **جواب نهایی:** $\mathbf{x = 4}$ --- ### ب) $\mathbf{\frac{3x - 2}{x} + \frac{2x + 5}{x + 3} = 5}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 0}$ و $\mathbf{x \neq -3}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{x(x + 3)}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{(3x - 2)(x + 3) + (2x + 5)x = 5x(x + 3)}$$ $$\mathbf{(3x^2 + 9x - 2x - 6) + (2x^2 + 5x) = 5x^2 + 15x}$$ 4. **ساده‌سازی و حل:** $$\mathbf{5x^2 + 12x - 6 = 5x^2 + 15x}$$ $$\mathbf{12x - 6 = 15x}$$ $$\mathbf{-6 = 15x - 12x \Rightarrow 3x = -6}$$ $$\mathbf{x = -2}$$ **جواب نهایی:** $\mathbf{x = -2}$ --- ### پ) $\mathbf{\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x + 2} = x + 3}$ 1. **ریشه‌ی غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq -2}$ 2. **جمع کسرها (مخرج مشترک):** $$\mathbf{\frac{2 + x}{x + 2} = x + 3}$$ 3. **ساده‌سازی سمت چپ:** چون صورت و مخرج برابرند، کسر برابر $\mathbf{1}$ است (با فرض $\mathbf{x \neq -2}$). $$\mathbf{1 = x + 3}$$ $$\mathbf{x = 1 - 3 \Rightarrow x = -2}$$ **بررسی ریشه غیرمجاز:** چون جواب $\mathbf{x = -2}$ است و این مقدار مخرج کسرها را صفر می‌کند، پس این ریشه قابل قبول نیست و باید حذف شود. **جواب نهایی:** این معادله **ریشه‌ی حقیقی ندارد**. --- ### ت) $\mathbf{\frac{x^2 - 2x + 2}{x^2 - 2x} - \frac{1 + x}{x} = \frac{x - 1}{x - 2}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز و تجزیه مخرج‌ها:** * $\mathbf{x^2 - 2x = x(x - 2)}$ * **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 0}$ و $\mathbf{x \neq 2}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{x(x - 2)}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{(x^2 - 2x + 2) - (1 + x)(x - 2) = (x - 1)x}$$ 4. **باز کردن پرانتزها:** * $\mathbf{(x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + x - 2) = x^2 - x}$ $$\mathbf{x^2 - 2x + 2 - x^2 + x + 2 = x^2 - x}$$ 5. **ساده‌سازی و حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{-x + 4 = x^2 - x}$$ $$\mathbf{4 = x^2 \Rightarrow x^2 = 4}$$ $$\mathbf{x = \pm 2}$$ **بررسی ریشه غیرمجاز:** $\mathbf{x = 2}$ ریشه‌ی غیرمجاز است و باید حذف شود. $\mathbf{x = -2}$ مجاز است. **جواب نهایی:** $\mathbf{x = -2}$ --- ### ث) $\mathbf{\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 3} = \frac{4}{x - 2}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 1, x \neq -3, x \neq 2}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{(x - 1)(x + 3)(x - 2)}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{3(x + 3)(x - 2) - 2(x - 1)(x - 2) = 4(x - 1)(x + 3)}$$ 4. **باز کردن پرانتزها:** $$\mathbf{3(x^2 + x - 6) - 2(x^2 - 3x + 2) = 4(x^2 + 2x - 3)}$$ $$\mathbf{(3x^2 + 3x - 18) - (2x^2 - 6x + 4) = 4x^2 + 8x - 12}$$ 5. **ساده‌سازی و حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{x^2 + 9x - 22 = 4x^2 + 8x - 12}$$ $$\mathbf{0 = 3x^2 - x + 10}$$ 6. **محاسبه $\mathbf{\Delta}$:** $\mathbf{\Delta = (-1)^2 - 4(3)(10) = 1 - 120 = -119}$ چون $\mathbf{\Delta < 0}$ است، معادله **ریشه‌ی حقیقی ندارد**. --- ### ج) $\mathbf{\frac{11}{x^2 - 4} + \frac{x + 3}{2 - x} = \frac{2x - 3}{x + 2}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز و تجزیه مخرج‌ها:** * $\mathbf{x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}$ * $\mathbf{2 - x = -(x - 2)}$ * **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 2}$ و $\mathbf{x \neq -2}$ 2. **بازنویسی معادله با مخرج‌های استاندارد:** $$\mathbf{\frac{11}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{-(x + 3)}{x - 2} = \frac{2x - 3}{x + 2}}$$ 3. **مخرج مشترک:** $\mathbf{(x - 2)(x + 2)}$ 4. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{11 - (x + 3)(x + 2) = (2x - 3)(x - 2)}$$ 5. **باز کردن پرانتزها:** $$\mathbf{11 - (x^2 + 5x + 6) = 2x^2 - 4x - 3x + 6}$$ $$\mathbf{11 - x^2 - 5x - 6 = 2x^2 - 7x + 6}$$ 6. **حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{-x^2 - 5x + 5 = 2x^2 - 7x + 6}$$ $$\mathbf{0 = 3x^2 - 2x + 1}$$ 7. **محاسبه $\mathbf{\Delta}$:** $\mathbf{\Delta = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8}$ چون $\mathbf{\Delta < 0}$ است، معادله **ریشه‌ی حقیقی ندارد**.